Sudut Antara Bidang Rata

Raymond Kelvin Nando — Sudut antara dua bidang rata adalah ukuran besar sudut yang terbentuk dari pertemuan atau perpotongan dua bidang dalam ruang tiga dimensi. Konsep ini sangat penting dalam geometri analitik dan kalkulus vektor karena berkaitan dengan orientasi spasial, kemiringan permukaan, serta hubungan antarbidang dalam struktur ruang.

Pengertian Sudut Antara Bidang Rata

Sudut antara dua bidang rata didefinisikan sebagai sudut antara dua vektor normal dari bidang tersebut. Karena vektor normal berdiri tegak lurus pada bidang, maka hubungan sudut antara bidang dapat ditentukan dengan lebih sederhana melalui operasi vektor pada normalnya.

Misalkan dua bidang masing-masing memiliki vektor normal
n₁ = (A₁, B₁, C₁) dan n₂ = (A₂, B₂, C₂).
Sudut θ antara kedua bidang adalah sudut antara dua vektor normal tersebut.

Rumus Sudut Antara Dua Bidang Rata

Untuk menentukan sudut θ antara dua bidang, digunakan dot product antara dua vektor normalnya:

\(
\cos \theta = \frac{n_{1} \cdot n_{2}}{|n_{1}| , |n_{2}|}
\)

Dengan:

• n₁ · n₂ adalah dot product dari kedua vektor normal.
• |n₁| dan |n₂| adalah panjang masing-masing vektor normal.

Karena sudut bidang yang dimaksud biasanya adalah sudut tumpul yang berasosiasi dengan sudut sebenarnya antara permukaan, maka sudut antarbidang sering ditulis sebagai:

\(
\phi = 90^\circ – \theta
\)

Namun dalam banyak konteks matematika, sudut antara bidang langsung didefinisikan sebagai θ sesuai hasil rumus dot product.

Turunan Rumus dari Definisi Dot Product

Dengan definisi:

\(
n_{1} \cdot n_{2} = A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}
\)

dan

\(
|n_{1}| = \sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}}
\) \(
|n_{2}| = \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}
\)

Maka substitusi langsung ke dalam rumus sudut menghasilkan sistem komputasi yang lengkap untuk menentukan sudut antarbidang dengan presisi tinggi.

Contoh Perhitungan Sudut Antara Dua Bidang

Misalkan dua bidang memiliki vektor normal:

• n₁ = (2, −1, 4)
• n₂ = (3, 2, −5)

Hitung:

\(
n_{1} \cdot n_{2} = 2(3) + (-1)(2) + 4(-5) = 6 – 2 – 20 = -16
\)

Panjang masing-masing:

\(
|n_{1}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21}
\) \(
|n_{2}| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{38}
\)

Maka:

\(
\cos \theta = \frac{-16}{\sqrt{21} , \sqrt{38}}
\)

Sudut θ adalah:

\(
\theta = \arccos\left(\frac{-16}{\sqrt{21}\sqrt{38}}\right)
\)

Sudut yang diperoleh merupakan sudut antara kedua bidang rata melalui hubungan vektor normal.

Aplikasi Sudut Antara Bidang Rata

• Analisis orientasi permukaan dalam geometri ruang.
• Menentukan kemiringan struktur dalam teknik sipil dan arsitektur.
• Perhitungan interaksi permukaan pada 3D modeling dan computer graphics.
• Menentukan hubungan sudut antarlapisan geologis pada pemetaan bumi.
• Digunakan dalam kalkulus vektor untuk mempelajari divergensi dan fluks permukaan.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.