Persamaan Garis dan Bidang Lengkung

Raymond Kelvin Nando — Persamaan garis dan bidang lengkung adalah formulasi matematis yang digunakan untuk mendeskripsikan bentuk lintasan maupun permukaan yang tidak linier dalam ruang tiga dimensi, sehingga konsep ini menjadi dasar dalam analisis geometri diferensial dan pemodelan permukaan kompleks.

Pengertian Persamaan Garis dan Bidang Lengkung

Persamaan garis dan bidang lengkung mengacu pada representasi matematis untuk objek geometris yang tidak membentuk garis lurus atau bidang datar. Garis lengkung dapat berupa lintasan parametrik, sedangkan bidang lengkung biasanya digambarkan sebagai permukaan yang persamaannya melibatkan fungsi dua variabel.

Dalam ruang tiga dimensi, garis lengkung tidak dapat direpresentasikan dengan persamaan linear, tetapi hanya melalui parameter. Bidang lengkung merupakan generalisasi bidang rata, dengan bentuk yang tidak planar.

Rumus Umum Persamaan Garis dan Bidang Lengkung

Garis Lengkung (Parametrik)

Bentuk umum garis lengkung diberikan sebagai fungsi parameter \(t\):

\(
x = x(t), \quad y = y(t), \quad z = z(t)
\)

di mana \(x(t)\), \(y(t)\), dan \(z(t)\) merupakan fungsi kontinu.

Bidang Lengkung (Permukaan)

Bidang lengkung umum direpresentasikan dalam dua bentuk:

1. Parametrik dua variabel

\(
x = x(u,v), \quad y = y(u,v), \quad z = z(u,v)
\)

2. Eksplisit

\(
z = f(x,y)
\)

Contoh permukaan eksplisit: paraboloid, saddle surface, atau permukaan bola (dengan penyesuaian parametrik).

Contoh Persamaan Garis dan Bidang Lengkung

Contoh 1: Garis Lengkung Parametrik

Misalkan diberikan kurva:

\(
x = t, \quad y = t^{2}, \quad z = 2t – 1
\)

Kurva ini membentuk lintasan parabola dalam ruang, tidak berada pada satu bidang linier.

Contoh 2: Bidang Lengkung Eksplisit

Permukaan paraboloid:

\(
z = x^{2} + y^{2}
\)

Permukaan ini tidak datar dan memiliki kelengkungan positif.

Contoh 3: Bidang Lengkung Parametrik

Permukaan bola berjari-jari \(R\):

\(
x = R \sin u \cos v
\) \(
y = R \sin u \sin v
\) \(
z = R \cos u
\)

dengan parameter
\(0 \leq u \leq \pi\),
\(0 \leq v \leq 2\pi\).

Referensi

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. Calculus. Cengage Learning.
• Thomas, G. B. Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.