Koordinat Siku – Siku di R³

Raymond Kelvin Nando —Koordinat siku-siku di ruang tiga dimensi (R³) adalah sistem koordinat dengan tiga sumbu saling tegak lurus yang digunakan untuk menentukan posisi titik, orientasi vektor, dan hubungan spasial dalam analisis matematika tingkat lanjut.

Sistem ini menjadi dasar bagi kalkulus multivariabel, fisika ruang, grafika komputer, teknik, hingga pemodelan struktur. Dalam koordinat ini, setiap titik direpresentasikan dengan tiga bilangan real yang menunjukkan proyeksi titik tersebut terhadap sumbu x, y, dan z sehingga mempermudah pemahaman tentang bentuk, jarak, dan arah dalam ruang tiga dimensi.

Pengertian Koordinat Siku-Siku di R³

Koordinat siku-siku di R³ dibangun oleh tiga sumbu ortogonal: sumbu x (horizontal), sumbu y (vertikal), dan sumbu z (kedalaman). Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dalam bentuk triple terurut sebagai berikut:

\(( (x, y, z) )\)

Sistem ini memudahkan analisis bentuk, jarak, arah, serta operasi vektor di ruang tiga dimensi.

Representasi Vektor dalam R³

Vektor dalam R³ dapat ditulis dalam bentuk komponen:

\(
\vec{v} = \langle x, y, z \rangle
\)

Atau menggunakan basis standar:

\(
\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}
\)

Panjang vektor diberikan oleh:

\(
|\vec{v}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}
\)

Jarak Antar Titik di R³

Untuk dua titik A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), jarak Euclidean dihitung dengan:

\(
d(A,B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}
\)

Sudut Antar Vektor

Sudut antara dua vektor u dan v dapat dihitung melalui dot product:

\(
\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|\cos\theta
\)

Sudutnya diperoleh melalui:

\(
\theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|u||v|}\right)
\)

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang menghasilkan vektor baru yang tegak lurus kedua vektor awal. Rumus determinannya adalah:

\(
\vec{u} \times \vec{v} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
u_{1} & u_{2} & u_{3} \
v_{1} & v_{2} & v_{3}
\end{vmatrix}
\)

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2019). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. (2021). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2021). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Marsden, J., & Tromba, A. (2016). Vector Calculus. W. H. Freeman.
• Schey, H. M. (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. W. W. Norton.