Jaringan Bidang Rata

Raymond Kelvin Nando — Jaringan bidang rata adalah himpunan semua bidang yang melalui satu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi. Konsep ini merupakan perluasan dari ide berkas bidang, tetapi alih-alih berbagi satu garis yang sama, seluruh bidang dalam jaringan hanya memiliki satu titik persekutuan. Jaringan bidang penting dalam analisis geometri ruang, terutama untuk memahami struktur lokal di sekitar suatu titik.

Pengertian Jaringan Bidang Rata

Jaringan bidang rata (dalam literatur disebut bundle of planes atau sheaf of planes) adalah kumpulan bidang yang semuanya melalui titik yang sama tetapi tidak harus berbagi garis yang sama. Titik tersebut disebut pusat jaringan (center of the bundle).

Dengan demikian:

• setiap bidang dalam jaringan memuat titik pusat,
• bidang-bidang dalam jaringan dapat memiliki orientasi bebas,
• jaringan membentuk keluarga dua-parameter dari bidang di ruang.

Pembentukan Jaringan Bidang

Misalkan titik pusatnya adalah P(x₀, y₀, z₀). Suatu bidang umum yang melalui titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk titik-normal:

\(
A(x – x_{0}) + B(y – y_{0}) + C(z – z_{0}) = 0
\)

di mana:

• (A, B, C) adalah komponen vektor normal bidang,
• vektor normal dapat dipilih bebas kecuali bukan vektor nol.

Karena A, B, C dapat bervariasi, maka seluruh bidang yang melalui P membentuk jaringan bidang.

Bentuk Lain Berdasarkan Dua Bidang Generator

Jika diberikan dua bidang berbeda namun berpotongan pada titik P, yaitu:

\(
A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0
\)

dan

\(
A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0
\)

maka jaringan bidang yang melalui titik P dapat dibentuk melalui kombinasi linier:

\(
\lambda(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}) +
\mu(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}) = 0
\)

dengan λ dan μ variabel bebas, tidak keduanya nol.

Selama kedua bidang itu memang berpotongan di satu titik, maka semua bidang hasil kombinasi juga melalui titik yang sama.

Contoh Jaringan Bidang

Misalkan kedua bidang berikut berpotongan pada titik P:

\(
x + 2y – z – 3 = 0
\)

dan

\(
2x – y + 4z – 1 = 0
\)

Bentuk umum jaringan bidangnya adalah:

\(
\lambda(x + 2y – z – 3) + \mu(2x – y + 4z – 1) = 0
\)

Dengan mengganti nilai λ dan μ (selain keduanya nol), kita memperoleh berbagai bidang yang semuanya melalui titik P.

Interpretasi Geometris

• Semua bidang dalam jaringan memiliki satu titik pusat yang sama.
• Dibandingkan berkas bidang (yang memiliki garis tetap), jaringan memberikan kebebasan orientasi yang lebih luas.
• Jaringan bidang identik dengan keluarga semua bidang yang memuat suatu titik.
• Dalam geometri diferensial, jaringan bidang membantu memahami struktur lokal dan arah pada ruang sekitar titik tertentu.

Aplikasi Jaringan Bidang

• Pembentukan model lokal dalam geometri tiga dimensi.
• Penentuan himpunan bidang yang dapat melalui suatu titik dalam 3D modeling.
• Analisis gaya dan reaksi pada titik sambungan dalam teknik sipil.
• Studi transformasi linear dan proyeksi ortogonal dalam aljabar linear.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.