Jarak Dua Garis Bersilangan

Raymond Kelvin Nando — Jarak dua garis bersilangan adalah jarak minimum antara dua garis yang tidak saling berpotongan dan tidak sejajar dalam ruang tiga dimensi, dihitung menggunakan proyeksi vektor normal hasil cross product dua vektor arah garis.

Pengertian Jarak Dua Garis Bersilangan

Jarak dua garis bersilangan adalah panjang garis hubung terpendek yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Dua garis dikatakan bersilangan apabila berada di ruang tiga dimensi, tidak sejajar, dan tidak berpotongan. Konsep ini fundamental dalam geometri ruang karena memerlukan pemahaman relasi spasial dua garis yang tidak berada pada bidang yang sama.

Rumus Umum Jarak Dua Garis Bersilangan

Diberikan dua garis:

Garis pertama melewati titik:
\((x_1, y_1, z_1)\)
dengan vektor arah:

\(\vec{a}\)

Garis kedua melewati titik:
\((x_2, y_2, z_2)\)
dengan vektor arah:

\(\vec{b}\)

Vektor penghubung antar titik:

\(\vec{P_2P_1} = \langle x_1 – x_2,; y_1 – y_2,; z_1 – z_2 \rangle\)

Maka jarak kedua garis bersilangan adalah:

\(
d = \frac{\left| \vec{P_2P_1} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \right|}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}
\)

Rumus ini valid karena cross product menghasilkan vektor normal terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor arah garis.

Contoh Jarak Dua Garis Bersilangan

Misalkan dua garis didefinisikan sebagai:

Garis pertama:

\((x, y, z) = (1, 4, -2) + t\langle 2, -1, 3 \rangle\)

Garis kedua:

\((x, y, z) = (3, -2, 1) + s\langle -1, 2, 4 \rangle\)

Titik pada garis:
\(P_1 = (1, 4, -2)\)

\(P_2 = (3, -2, 1)\)

Vektor arah garis:
\(\vec{a} = \langle 2, -1, 3 \rangle\)

\(\vec{b} = \langle -1, 2, 4 \rangle\)

1. Hitung vektor penghubung:

\(\vec{P_2P_1} = \langle -2,; 6,; -3 \rangle\)

Hitung cross product:

\(
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & -1 & 3 \
-1 & 2 & 4
\end{vmatrix}
\) \(
= \langle -10,; -11,; 3 \rangle
\)

3. Hitung dot product:

\(
\vec{P_2P_1} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})
= (-2)(-10) + (6)(-11) + (-3)(3)
= -29
\)

Ambil nilai mutlak:

\(|-29| = 29\)

Hitung panjang vektor normal:

\(
|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-10)^2 + (-11)^2 + 3^2}
= \sqrt{230}
\)

Jarak garis bersilangan:

\(
d = \frac{29}{\sqrt{230}}
\)

Referensi

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. Calculus. Cengage Learning.
• Thomas, G. B. Thomas’ Calculus. Pearson.