Jarak Dua Bidang Rata yang Sejajar

Raymond Kelvin Nando — Jarak dua bidang rata yang sejajar adalah ukuran panjang tegak lurus yang memisahkan kedua bidang tersebut dalam ruang tiga dimensi. Konsep ini digunakan dalam geometri analitik, kalkulus vektor, serta berbagai bidang teknik ketika diperlukan pengukuran presisi antara dua permukaan yang tidak berpotongan.

Pengertian Jarak Dua Bidang Rata yang Sejajar

Dua bidang rata dikatakan sejajar apabila vektor normal keduanya searah (proporsional). Karena bidang-bidang tersebut tidak pernah berpotongan, jarak antara keduanya didefinisikan sebagai panjang garis tegak lurus dari sembarang titik pada salah satu bidang menuju bidang lainnya.

Misalkan bidang pertama memiliki persamaan:

\(A x + B y + C z + D_{1} = 0\)

dan bidang kedua:

\(A x + B y + C z + D_{2} = 0\)

Keduanya sejajar karena komponen vektor normalnya sama, yaitu
n = (A, B, C).

Rumus Jarak Dua Bidang Sejajar

Rumus jarak d antara dua bidang sejajar tersebut adalah:

\(
d = \frac{|D_{2} – D_{1}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}
\)

Rumus ini diperoleh dari jarak titik ke bidang, di mana kita memilih titik sembarang pada salah satu bidang kemudian menghitung jaraknya ke bidang lainnya. Karena kedua bidang sejajar, hasilnya selalu konstan.

Penurunan Rumus

Jarak titik (x₀, y₀, z₀) ke bidang:

\(
A x + B y + C z + D = 0
\)

adalah:

\(
d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}
\)

Ambil satu titik pada bidang pertama. Misalnya, pilih titik P yang memenuhi:

\(
A x_{p} + B y_{p} + C z_{p} + D_{1} = 0
\)

Lalu hitung jaraknya ke bidang kedua:

\(
A x_{p} + B y_{p} + C z_{p} + D_{2} = D_{2} – D_{1}
\)

Substitusi ke rumus:

\(
d = \frac{|D_{2} – D_{1}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}
\)

Inilah jarak konstan antara dua bidang sejajar.

Contoh Perhitungan

Dua bidang berikut sejajar:

Bidang 1:

\(2x – y + 2z – 5 = 0\)

Bidang 2:

\(2x – y + 2z + 7 = 0\)

Identifikasi:

• A = 2
• B = −1
• C = 2
• D₁ = −5
• D₂ = 7

Hitung jaraknya:

\(
d = \frac{|7 – (-5)|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}}}
\) \(
d = \frac{|12|}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4
\)

Jadi jarak antara kedua bidang rata tersebut adalah 4 satuan.

Aplikasi Jarak Dua Bidang Rata Sejajar

• Pengukuran presisi dalam desain teknik dan arsitektur,
• Analisis geometri ruang pada matematika lanjut,
• Penentuan jarak permukaan dalam 3D modeling,
• Perhitungan ketebalan lapisan dalam geologi,
• Pengukuran posisi bidang dalam mekanika dan rekayasa struktur,

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.