Garis Lurus di R³

Raymond Kelvin Nando — Garis lurus di R³ adalah himpunan semua titik yang membentuk lintasan satu dimensi dengan arah tertentu di dalam ruang tiga dimensi. Dalam geometri analitik, garis lurus memegang peranan penting dalam memahami struktur spasial, orientasi, serta hubungan antargeometri seperti bidang, sudut, dan proyeksi.

Pengertian Garis Lurus di R³

Garis lurus di ruang tiga dimensi adalah objek geometri satu dimensi yang:

• memiliki arah yang tetap,
• memanjang tak berhingga,
• dapat ditentukan oleh satu titik dan satu vektor arah, atau oleh dua titik berbeda.

Dalam R³, garis tidak hanya bergerak ke kanan-kiri atau atas-bawah, tetapi bebas mengarah ke segala arah, sehingga representasi matematisnya membutuhkan tiga dimensi sekaligus.

Representasi Vektor Garis Lurus

Garis lurus yang melalui titik P₀(x₀, y₀, z₀) dan memiliki vektor arah v = (a, b, c) dapat dituliskan dalam bentuk parametrik:

\(
\mathbf{r}(t) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + t(a, b, c)
\)

Bentuk ini berarti setiap nilai parameter t ∈ ℝ menghasilkan satu titik pada garis tersebut.

Komponen penyusunnya:

• (x₀, y₀, z₀) = titik awal garis,
• (a, b, c) = vektor arah,
• t = parameter real yang menentukan posisi titik pada garis.

Persamaan Parametrik Garis Lurus

Dari bentuk vektor di atas, diperoleh persamaan parametrik:

\(
x = x_{0} + at
\) \(
y = y_{0} + bt
\) \(
z = z_{0} + ct
\)

Persamaan ini menunjukkan hubungan eksplisit antara parameter t dan tiap koordinat titik pada garis.

Persamaan Simetris Garis Lurus

Jika a, b, dan c semuanya tidak nol, maka garis dapat ditulis dalam bentuk simetris:

\(
\frac{x – x_{0}}{a} = \frac{y – y_{0}}{b} = \frac{z – z_{0}}{c}
\)

Bentuk ini banyak digunakan dalam analisis geometri karena memberikan gambaran eksplisit arah garis.

Jika salah satu komponen vektor arah bernilai nol, bentuk simetris dapat dimodifikasi sesuai kebutuhan.

Garis Melalui Dua Titik

Jika garis melalui dua titik berbeda P₁(x₁, y₁, z₁) dan P₂(x₂, y₂, z₂), maka vektor arahnya:

\(
\mathbf{v} = (x_{2} – x_{1},; y_{2} – y_{1},; z_{2} – z_{1})
\)

Kemudian gunakan titik P₁ untuk menulis bentuk parametriknya:

\(
\mathbf{r}(t) = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) + t(x_{2} – x_{1},; y_{2} – y_{1},; z_{2} – z_{1})
\)

Bentuk ini memastikan garis ditentukan oleh dua titik unik.

Contoh Garis Lurus di R³

Misalkan garis melalui P(1, 2, −1) dan memiliki vektor arah v = (3, −2, 5). Maka:

Persamaan parametriknya:

\(
x = 1 + 3t
\) \(
y = 2 – 2t
\) \(
z = -1 + 5t
\)

Persamaan simetrisnya:

\(
\frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{-2} = \frac{z + 1}{5}
\)

Hubungan Garis dengan Bidang Rata

• Garis dapat berada sepenuhnya pada sebuah bidang.
• Garis dapat tegak lurus terhadap bidang jika vektor arahnya sejajar vektor normal bidang.
• Dua garis dapat sejajar, berpotongan, atau bersilangan (skew) di R³.
• Garis sering digunakan sebagai alat analitis untuk menentukan jarak, sudut, dan orientasi dalam ruang.

Aplikasi Garis Lurus di R³

• Analisis lintasan partikel dalam fisika.
• Representasi kamera dan sinar cahaya dalam computer graphics.
• Penentuan jalur minimum dalam navigasi dan robotika.
• Penyusunan model ruang dalam kalkulus multivariabel.
• Rekonstruksi objek dalam geometri komputasional.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.