Garis Hubung Terpendek

Raymond Kelvin Nando — Garis Hubung Terpendek adalah konsep yang menentukan jarak minimum antara dua garis lurus yang saling bersilangan dalam ruang tiga dimensi dengan menggunakan prinsip ortogonalitas terhadap kedua garis tersebut.

Pengertian Garis Hubung Terpendek

Garis hubung terpendek adalah garis yang tegak lurus terhadap kedua garis dan menghubungkan dua titik yang menghasilkan jarak minimum di antara garis-garis tersebut. Jarak dihitung menggunakan vektor normal yang berasal dari cross product dua vektor arah garis.

Rumus Umum Garis Hubung Terpendek

Misalkan dua garis memiliki data sebagai berikut:

Titik pada garis pertama:

\((x_1, y_1, z_1)\)

Titik pada garis kedua:

\((x_2, y_2, z_2)\)

Vektor arah garis pertama:

\(\vec{a}\)

Vektor arah garis kedua:

\(\vec{b}\)

Maka vektor penghubung titik adalah:

\(\vec{P_2P_1} = \langle x_1 – x_2,; y_1 – y_2,; z_1 – z_2 \rangle\)

Rumus jarak garis hubung terpendek:

\(d = \frac{\left| \vec{P_2P_1} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \right|}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\)

Contoh Garis Hubung Terpendek

Dua garis diberikan sebagai:

Garis pertama:

\((x, y, z) = (1, 2, 3) + t\langle 1, -1, 2 \rangle\)

Garis kedua:

\((x, y, z) = (3, 0, 1) + s\langle 2, 1, -1 \rangle\)

Titik-titik:
\(P_1 = (1, 2, 3)\)

\(P_2 = (3, 0, 1)\)

Vektor arah garis:
\(\vec{a} = \langle 1, -1, 2 \rangle\)

\(\vec{b} = \langle 2, 1, -1 \rangle\)

1. Hitung vektor penghubung:

\(\vec{P_2P_1} = \langle -2,; 2,; 2 \rangle\)

Hitung cross product:

\(
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -1 & 2 \
2 & 1 & -1
\end{vmatrix}
\) \(
= \langle -1,; 5,; 3 \rangle
\)

3. Hitung hasil dot product:

\(\vec{P_2P_1} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 18\)

Hitung panjang vektor:

\(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{35}\)

Jarak garis hubung terpendek:

\(d = \frac{18}{\sqrt{35}}\)

Referensi

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Thomas, G. B. Calculus. Pearson.
• Stewart, J. Calculus. Cengage Learning.