Garis dan Bidang Rata

Raymond Kelvin Nando — Garis dan bidang rata dalam ruang tiga dimensi (R³) merupakan dua objek fundamental dalam geometri analitik yang hubungan keduanya dapat diklasifikasikan menjadi tiga kemungkinan: garis memotong bidang, garis sejajar bidang, atau garis terletak pada bidang; memahami hubungan ini penting karena menjadi dasar analisis posisi, perpotongan, serta penyusunan model ruang dalam matematika maupun aplikasi teknis.

Pengertian Garis dan Bidang Rata

Garis dan bidang rata di R³ adalah dua entitas geometri yang dapat diperbandingkan posisinya berdasarkan hubungan vektor arah garis dan vektor normal bidang.
Hubungan ini ditentukan oleh apakah garis tersebut memiliki titik potong pada bidang, sejajar namun tidak memotong, atau keseluruhan garis berada dalam bidang tersebut.

Hubungan Garis dan Bidang

Terdapat tiga hubungan utama:

• Garis Memotong Bidang

Terjadi apabila persamaan garis, ketika disubstitusikan ke persamaan bidang, menghasilkan satu titik solusi.
Contoh umum:
\( \vec{r} = \vec{a} + t\vec{u} \)
\( Ax + By + Cz + D = 0 \)
Jika setelah substitusi nilai t menghasilkan satu penyelesaian, maka garis memotong bidang.

• Garis Sejajar Bidang

Garis sejajar bidang jika vektor arah garis tegak lurus terhadap vektor normal bidang, yaitu:
\( \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \)
tetapi titik-titik pada garis tidak memenuhi persamaan bidang.

• Garis Terletak pada Bidang

Terjadi bila:
\( \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \)
dan setiap titik pada garis (biasanya cukup satu titik representatif) memenuhi persamaan bidang.

Rumus Penting Garis dan Bidang Rata

1. Substitusi Parametrik Garis ke Bidang

Jika garis:
\( \vec{r} = \vec{a} + t\vec{u} \)
dan bidang:
\( Ax + By + Cz + D = 0 \)
Maka substitusi menghasilkan:
\( A(x_a + tu_1) + B(y_a + tu_2) + C(z_a + tu_3) + D = 0 \)
Nilai t menentukan apakah ada titik potong.

2. Syarat Sejajar

\( \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \)

3. Syarat Garis Terletak pada Bidang

• Syarat sejajar terpenuhi
• Titik pada garis memenuhi persamaan bidang

\( A x_a + B y_a + C z_a + D = 0 \)

Contoh

Misal garis:

\( \vec{r} = (1,2,3) + t(2,-1,1) \)

Bidang:

\( x – y + z – 4 = 0 \)

1. Cek titik awal garis

\( 1 – 2 + 3 – 4 = -2 \neq 0 \)
Titik tidak terletak pada bidang.

2. Substitusi

\( (1 + 2t) – (2 – t) + (3 + t) – 4 = 0 \)
\( 1 + 2t – 2 + t + 3 + t – 4 = 0 \)
\( 4t – 2 = 0 \)

\( t = \frac{1}{2} \)

Karena ada nilai t, garis memotong bidang.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Purcell, E. J., & Varberg, D. (2010). Calculus with Analytic Geometry. Pearson.