Fungsi Jacobian

Raymond Kelvin Nando — Fungsi Jacobian adalah konsep penting dalam kalkulus multivariabel yang digunakan untuk melihat bagaimana suatu transformasi mengubah ukuran, bentuk, dan orientasi ruang melalui determinan matriks turunan parsial.

Pengertian Fungsi Jacobian

Fungsi Jacobian adalah konsep dalam kalkulus multivariabel yang digunakan untuk mengukur bagaimana suatu transformasi dari variabel (x,y)(x,y)(x,y) ke (u,v)(u,v)(u,v) meregangkan atau mengubah skala suatu daerah. Nilai Jacobian menunjukkan faktor perubahan luas (atau volume untuk dimensi lebih tinggi) yang terjadi akibat transformasi tersebut.

Rumus Umum Fungsi Jacobian

\(
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}
\)

Ekspansi determinannya

\(
J =
\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}

\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}
\)

Contoh Fungsi Jacobian

Misalkan transformasi didefinisikan oleh:

\(
x = u^2 – v,\quad y = uv
\)

Cari fungsi Jacobian-nya.

Turunan parsial:

\(
\frac{\partial x}{\partial u} = 2u,\quad
\frac{\partial x}{\partial v} = -1
\) \(
\frac{\partial y}{\partial u} = v,\quad
\frac{\partial y}{\partial v} = u
\)

Substitusi ke rumus Jacobian:

\(
J =
(2u)(u) – (-1)(v)
\)

Hasilnya:

\(
J = 2u^2 + v
\)

Referensi

• Stewart, J. Calculus. Cengage.
• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Marsden, J., & Tromba, A. Vector Calculus. W. H. Freeman.