Fungsi Implisit

Raymond Kelvin Nando — Fungsi implisit adalah bentuk relasi matematika di mana variabel-variabelnya tidak dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi satu sama lain, melainkan terhubung melalui suatu persamaan yang harus dipenuhi.

Pengertian Fungsi Implisit

Fungsi implisit muncul ketika dua atau lebih variabel berada dalam satu persamaan tanpa satu variabel pun dituliskan secara langsung sebagai fungsi dari variabel lainnya.
Misalnya, lingkaran dengan persamaan:

\(
x^{2} + y^{2} = 25
\)

tidak memberikan \(y\) secara langsung dalam bentuk \(y=f(x)\), sehingga disebut fungsi implisit.

Untuk mengekstrak informasi turunan atau differensial dari fungsi seperti ini digunakan metode implicit differentiation.

Jika diberikan hubungan:

\(
F(x,y) = 0,
\)

maka \(y\) dianggap sebagai fungsi dari \(x\), dan turunan implisitnya diperoleh dengan menurunkan seluruh persamaan terhadap \(x\).

Rumus Umum Fungsi Implisit

Untuk persamaan implisit:

\(
F(x,y) = 0,
\)

turunan implisitnya diberikan oleh:

\(
\frac{dy}{dx} = -,\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)},
\)

dengan:

\(
F_{x} = \frac{\partial F}{\partial x}, \quad F_{y} = \frac{\partial F}{\partial y}.
\)

Rumus ini menyatakan perubahan \(y\) terhadap \(x\) dalam konteks fungsi implisit.

Contoh Fungsi Implisit

Misalkan fungsi implisit berikut:

\(
x^{2} + xy + y^{2} = 7.
\)

Turunkan kedua sisi terhadap \(x\):

\(
2x + (x\frac{dy}{dx} + y) + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
\)

Kelompokkan turunan:

\(
(x + 2y)\frac{dy}{dx} = – (2x + y).
\)

Sehingga:

\(
\frac{dy}{dx} = -,\frac{2x + y}{x + 2y}.
\)

Turunan ini menggambarkan kemiringan kurva implisit pada setiap titik yang memenuhi persamaan.

Referensi

• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Adams, R. A., & Essex, C. (2013). Calculus: A Complete Course. Pearson.
• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.