Domain

Raymond Kelvin Nando — Domain adalah himpunan semua nilai masukan yang diperbolehkan untuk suatu fungsi, yaitu semua titik dalam ruang yang membuat fungsi tersebut terdefinisi dengan baik. Dalam kajian kalkulus multivariabel, domain menentukan bentuk wilayah kerja suatu fungsi—apakah berupa daerah di bidang, ruang, atau subset tertentu yang memenuhi syarat-syarat khusus seperti ketaksamaan atau pembatas geometri.

Pengertian Domain

Domain adalah himpunan semua pasangan, tripel, atau n-uplet bilangan real yang dapat dimasukkan ke dalam suatu fungsi tanpa menyebabkan ketidakterdefinisian. Untuk fungsi dua variabel \(f(x,y)\), domainnya merupakan region di \(\mathbb{R}^{2}\). Untuk fungsi tiga variabel \(f(x,y,z)\), domain berupa bagian dari \(\mathbb{R}^{3}\).

Contoh:

Jika diberikan fungsi:

\(f(x,y) = \sqrt{9 – x^{2} – y^{2}}\)

maka domainnya adalah himpunan semua titik yang memenuhi:

\(x^{2} + y^{2} \le 9\)

karena ekspresi di dalam akar tidak boleh negatif.

Rumus Umum Domain

Secara umum, domain suatu fungsi multivariabel ditentukan dengan menganalisis syarat-syarat berikut:

• ekspresi akar harus memenuhi:

\(g(x,y,\dots) \ge 0\)

penyebut tidak boleh nol:

\(h(x,y,\dots) \ne 0\)

logaritma harus memenuhi:

\(g(x,y,\dots) > 0\)

fungsi trigonometri tertentu memiliki batasan periodik atau lingkup tertentu.

Untuk fungsi dua variabel:

\(D = {(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \text{fungsi terdefinisi}}\)

Untuk fungsi tiga variabel:

\(D = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \text{fungsi terdefinisi}}\)

Contoh Domain

Contoh 1.
\(f(x,y) = \frac{1}{x – y}\)
Domain: semua latex[/latex] dengan syarat:

\(x – y \ne 0\)

Contoh 2.
\(f(x,y) = \ln(x + y)\)
Domain:

\(x + y > 0\)

Contoh 3.
\(f(x,y,z) = \sqrt{4 – x^{2} – y^{2} – z^{2}}\)
Domain:

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4\)

Contoh 4.
\(f(x,y) = \sqrt{\frac{x}{y}}\)
Domain:

• \(y > 0\)
• \(x \ge 0\)

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.