Differensial Total

Raymond Kelvin Nando — Differensial total adalah pendekatan linear yang digunakan untuk memperkirakan perubahan kecil suatu fungsi multivariabel berdasarkan perubahan variabel-variabel penyusunnya.

Pengertian Differensial Total

Differensial total adalah perubahan pendekatan dari suatu fungsi dua variabel atau lebih ketika masing-masing variabelnya mengalami perubahan sangat kecil. Jika fungsi dinyatakan sebagai \(f(x,y)\), maka differensial total merepresentasikan efek gabungan dari perubahan \(x\) dan \(y\).

Untuk fungsi dua variabel \(f(x,y)\), differensial total didefinisikan sebagai:

\(
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy.
\)

Hal ini menunjukkan bahwa perubahan kecil pada fungsi dapat diperkirakan melalui kontribusi perubahan pada setiap variabel secara linear.

Rumus Umum Differensial Total

Jika \(f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\) adalah fungsi dari beberapa variabel, maka differensial totalnya diberikan oleh:

\(
df =
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1} +
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}dx_{2} +
\cdots +
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n}.
\)

Rumus ini menyatakan bahwa perubahan fungsi merupakan hasil penjumlahan kontribusi seluruh variabel.

Contoh Differensial Total

Misalkan fungsi:

\(
f(x,y) = x^{2}y + 3xy^{2}.
\)

Turunan parsialnya:

\(
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^{2},
\) \(
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 6xy.
\)

Maka differensial totalnya:

\(
df = (2xy + 3y^{2})dx + (x^{2} + 6xy)dy.
\)

Ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan nilai fungsi jika \(x\) dan \(y\) berubah sedikit.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.