Differensial Fungsi Dari Fungsi

Raymond Kelvin Nando — Differensial fungsi dari fungsi adalah konsep kalkulus lanjutan yang digunakan untuk menghitung perubahan suatu fungsi yang bergantung pada fungsi lain sebagai variabelnya.

Pengertian Differensial Fungsi Dari Fungsi

Differensial fungsi dari fungsi muncul ketika suatu fungsi tidak bergantung langsung pada variabel bebas, melainkan pada fungsi lain. Jika \(y = f(u)\) dan \(u = g(x)\), maka perubahan kecil pada \(x\) akan memengaruhi \(u\), lalu memengaruhi \(y\).

Secara umum, differensial fungsi dari fungsi mengikuti bentuk rantai:

\(
dy = f'(u),du.
\)

Karena \(u\) sendiri bergantung pada \(x\), maka:

\(
du = g'(x),dx.
\)

Sehingga differensial totalnya:

\(
dy = f'(u),g'(x),dx.
\)

Rumus Umum Differensial Fungsi Dari Fungsi

Untuk komposisi fungsi:

\(
y = f(g(x)),
\)

differensialnya adalah:

\(
dy = f'(g(x)),dg,
\)

dengan:

\(
dg = g'(x),dx.
\)

Maka rumus lengkapnya menjadi:

\(
dy = f'(g(x)),g'(x),dx.
\)

Rumus ini merupakan bentuk differensial dari aturan rantai.

Contoh Differensial Fungsi Dari Fungsi

Misalkan:

\(
y = \sin(3x^{2}).
\)

Di sini:

\(
u = 3x^{2},
\)

maka:

\(
du = 6x,dx.
\)

Turunan fungsi luarnya:

\(
\frac{dy}{du} = \cos(u).
\)

Sehingga differensial totalnya:

\(
dy = \cos(3x^{2}) \cdot 6x,dx.
\)

Interpretasi: perubahan kecil pada \(x\) memengaruhi \(u\) terlebih dahulu, kemudian memengaruhi \(y\).

Referensi

• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Adams, R. A., & Essex, C. (2013). Calculus: A Complete Course. Pearson.