Cross Product (Produk Vektor)

Raymond Kelvin Nando —Cross product atau produk vektor adalah operasi dalam ruang tiga dimensi (R³) yang menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap dua vektor awal. Konsep ini sangat penting dalam matematika lanjut, fisika, mekanika, grafika komputer, dan teknik karena mampu menggambarkan arah rotasi, luas bidang, hingga orientasi geometri ruang.

Pengertian Cross Product (Produk Vektor)

Cross product adalah operasi antara dua vektor u dan v yang menghasilkan vektor baru u × v dengan sifat utama:

• vektor hasil tegak lurus terhadap u dan v,
• arah ditentukan oleh kaidah tangan kanan (right-hand rule),
• besarannya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor.

Secara sederhana, cross product mengukur “seberapa tidak sejajar” dua vektor sekaligus memberikan arah yang ortogonal terhadap keduanya.

Rumus Umum Cross Product

Jika vektor
u = (a₁, a₂, a₃)
v = (b₁, b₂, b₃)

maka cross product didefinisikan sebagai:

\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (a_{2}b_{3} – a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1} – a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1})\)

Rumus ini menghasilkan vektor baru yang otomatis tegak lurus terhadap u dan v.

Penulisan Cross Product Menggunakan Determinan

Rumus cross product juga dapat ditulis dengan determinan matriks:

\(
\mathbf{u} \times \mathbf{v} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a_{1} & a_{2} & a_{3} \
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{vmatrix}
\)

Ekspansi determinan memberikan hasil yang sama dengan bentuk komponen.

Besar (Magnitudo) Cross Product

Besar vektor hasil cross product dapat dihitung dengan rumus:

\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|,|\mathbf{v}|,\sin\theta\)

di mana θ adalah sudut antara u dan v.

Makna rumus:

• jika vektor sejajar (θ = 0° atau 180°) → cross product = 0,
• jika vektor tegak lurus (θ = 90°) → cross product maksimum.

Arah Cross Product (Right-Hand Rule)

Arah vektor u × v ditentukan oleh kaidah tangan kanan:

• rentangkan jari tangan kanan ke arah u,
• putar menuju v,
• ibu jari akan menunjuk arah u × v.

Arah ini penting dalam fisika, khususnya pada gaya Lorentz, torsi, dan rotasi.

Contoh Perhitungan Cross Product

Misalkan
u = (2, −1, 3)
v = (4, 0, −2)

Hitung cross product:

\(
\mathbf{u} \times \mathbf{v}
= \left(
(-1)(-2) – (3)(0),\
(3)(4) – (2)(-2),\
(2)(0) – (-1)(4)
\right)
\) \(
\mathbf{u} \times \mathbf{v}
= (2 – 0,\ 12 + 4,\ 0 + 4)
\) \(
\mathbf{u} \times \mathbf{v}
= (2,\ 16,\ 4)
\)

Vektor hasil = (2, 16, 4), yang tegak lurus terhadap u dan v.

Aplikasi Cross Product dalam Matematika dan Sains

• Menghitung luas jajaran genjang dan segitiga dalam R³.
• Menentukan arah normal permukaan pada analisis bidang.
• Digunakan dalam persamaan momen dan torsi dalam mekanika.
• Mengidentifikasi orientasi rotasi atau arah gaya.
• Digunakan pada grafika komputer untuk menghitung lighting, shading, dan normal objek 3D.
• Penting dalam geometri diferensial dan kalkulus vektor.

Cross product menjadi alat fundamental dalam memahami struktur ruang tiga dimensi dan berbagai fenomena fisika yang bertumpu pada arah, rotasi, serta interaksi antar vektor.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.