Bola (Sphere)

Raymond Kelvin Nando — Bola adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak kurang dari atau sama dengan suatu nilai tetap dari sebuah titik pusat. Bola merupakan salah satu objek dasar dalam geometri ruang dan analisis vektor, serta memiliki peran penting dalam kalkulus multivariabel, fisika, dan pemodelan tiga dimensi.

Pengertian Bola (Sphere)

Bola (sebagai bangun ruang solid) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi syarat memiliki jarak tidak melebihi suatu nilai tertentu dari titik pusat. Sementara itu, permukaan bola (sphere) adalah himpunan titik yang jaraknya tepat sama dengan jari-jari dari titik pusat.

Secara matematis, bola dengan pusat \((a, b, c)\) dan jari-jari \(r\) adalah:

\(
(x – a)^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{2} \le r^{2}
\)

Sedangkan permukaan bola adalah:

\(
(x – a)^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{2} = r^{2}
\)

Rumus Umum Bola (Sphere)

Beberapa bentuk umum persamaan bola meliputi:

1. Bentuk pusat–jari-jari

Jika pusat berada di \((a, b, c)\) dan jari-jari \(r\):

\(
(x – a)^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{2} = r^{2}
\)

2. Bentuk umum persamaan bola

Persamaan bola dapat diperluas menjadi bentuk umum:

\(
x^{2} + y^{2} + z^{2} + Dx + Ey + Fz + G = 0
\)

Dari bentuk ini, pusat dan jari-jari dapat ditemukan melalui penyempurnaan kuadrat:

\(
a = -\frac{D}{2}, \quad b = -\frac{E}{2}, \quad c = -\frac{F}{2}
\) \(
r = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} – G}
\)

Contoh Bola (Sphere)

Contoh 1 — Menentukan pusat dan jari-jari

Diketahui persamaan:

\(
x^{2} + y^{2} + z^{2} – 4x + 6y – 2z – 11 = 0
\)

Tentukan pusat dan jari-jari.

Selesaikan dengan melengkapi kuadrat:

\(
(x^{2} – 4x) + (y^{2} + 6y) + (z^{2} – 2z) = 11
\) \(
(x – 2)^{2} – 4 + (y + 3)^{2} – 9 + (z – 1)^{2} – 1 = 11
\) \(
(x – 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z – 1)^{2} = 25
\)

Sehingga:

• Pusat bola: \((2, -3, 1)\)
• Jari-jari: \(r = 5\)

Contoh 2 — Persamaan bola dengan pusat dan jari-jari

Tentukan persamaan bola dengan pusat \((1, 2, -1)\) dan jari-jari \(4\):

\(
(x – 1)^{2} + (y – 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 16
\)

Referensi

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.