Bilangan Arah Garis Lurus

Raymond Kelvin Nando — Mencari bilangan arah garis lurus dalam ruang tiga dimensi (R³) merupakan langkah dasar dalam analisis vektor dan geometri ruang untuk menentukan orientasi sebuah garis. Bilangan arah menunjukkan proporsi perubahan koordinat terhadap arah garis, sehingga konsep ini menjadi fondasi untuk membentuk persamaan garis, menghitung sudut antar garis, serta memahami arah gerak atau orientasi objek dalam ruang.

Pengertian Bilangan Arah Garis Lurus

Bilangan arah (direction numbers) adalah tiga bilangan yang menunjukkan perubahan koordinat x, y, dan z searah garis lurus. Jika garis naik, turun, atau bergerak dalam ruang, ketiga bilangan inilah yang menggambarkan bagaimana posisi berubah sepanjang garis.

Bilangan arah ini erat kaitannya dengan vektor arah v yang menyatakan orientasi garis. Jika v = (a, b, c), maka:

• a adalah perubahan pada sumbu x,
• b adalah perubahan pada sumbu y,
• c adalah perubahan pada sumbu z.

Bilangan arah tidak harus dinormalisasi; hanya perlu proporsional dengan arah garis.

Rumus Dasar Bilangan Arah dari Dua Titik

Jika garis melalui dua titik A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka vektor AB menjadi vektor arah garis.

Rumusnya:

\(
\overrightarrow{AB} = (x_{2} – x_{1},; y_{2} – y_{1},; z_{2} – z_{1})
\)

Ketiga komponen itulah yang menjadi bilangan arah garis tersebut.

Bilangan Arah dari Persamaan Parametrik Garis

Jika garis dinyatakan dalam bentuk parametrik:

\(
x = x_{0} + at,\quad y = y_{0} + bt,\quad z = z_{0} + ct
\)

maka bilangan arah garisnya adalah:

\(
(a,; b,; c)
\)

Tiga bilangan inilah yang menggerakkan titik sepanjang garis ketika parameter t berubah.

Bilangan Arah dari Persamaan Simetris Garis

Jika garis diberikan dalam bentuk simetris:

\(
\frac{x – x_{0}}{a} = \frac{y – y_{0}}{b} = \frac{z – z_{0}}{c}
\)

maka bilangan arah garis lurus juga:

\(
(a,; b,; c)
\)

Karena setiap pembilang/pembagi menunjukkan perubahan searah garis.

Contoh Perhitungan Bilangan Arah

Misalkan garis melalui A(1, 3, −2) dan B(4, 7, 5).

Langkah 1. Hitung vektor AB:

\(
\overrightarrow{AB} = (4 – 1,; 7 – 3,; 5 – (-2)) = (3,; 4,; 7)
\)

Maka bilangan arah garis tersebut adalah (3, 4, 7).

Jika ingin dinormalisasi untuk keperluan lain, maka:

\(
\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 7^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 49} = \sqrt{74}
\)

Tetapi normalisasi tidak diperlukan untuk bilangan arah.

Interpretasi Geometris

• Bilangan arah menentukan orientasi garis tanpa bergantung pada titik asal.
• Bilangan arah hanya menunjukkan arah, bukan panjang.
• Bilangan dapat dikalikan konstanta apa pun selama proporsinya tetap sama.
• Garis yang sejajar memiliki bilangan arah yang proporsional.
• Bilangan arah membantu menentukan kemiringan garis dalam ruang R³.

Aplikasi Bilangan Arah

• Menyusun persamaan garis lurus di R³.
• Menghitung sudut antara dua garis menggunakan dot product.
• Menentukan garis sejajar atau tegak lurus.
• Analisis transformasi dan perpindahan dalam fisika.
• Perhitungan arah lintasan dalam computer graphics dan robotics.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.