Raymond Kelvin Nando — Bidang putar adalah permukaan yang dihasilkan ketika sebuah kurva digerakkan dengan cara diputar mengelilingi suatu garis tetap dalam ruang tiga dimensi; konsep ini menjadi dasar dalam pembentukan berbagai permukaan simetris yang sering muncul dalam geometri ruang, kalkulus multivariabel, dan aplikasi teknik.
Daftar Isi
Pengertian Bidang Putar
Pengertian bidang putar adalah tempat kedudukan semua titik yang dibentuk oleh sebuah kurva ketika diputar mengelilingi suatu sumbu. Kurva asal disebut kurva pembangkit, sedangkan garis tetap yang menjadi pusat rotasi disebut sumbu putar. Proses putar ini menghasilkan permukaan yang memiliki simetri rotasional.
Jika kurva pembangkit terletak pada suatu bidang dan diputar mengelilingi salah satu sumbunya, maka diperoleh permukaan tiga dimensi seperti torus, bola, atau paraboloid rotasi.
Rumus Umum Bidang Putar
Misalkan kurva pembangkit diberikan dalam bentuk parametris:
\(x = f(t), \quad y = g(t), \quad z = h(t),
\)
dan kurva ini diputar mengelilingi sumbu z. Titik setelah rotasi sebesar sudut \(\theta\) akan menjadi:
\(x = f(t)\cos\theta – g(t)\sin\theta,
\) \(
y = f(t)\sin\theta + g(t)\cos\theta,
\) \(
z = h(t).
\)
Parameter \(t\) mewakili posisi pada kurva pembangkit, sedangkan \(\theta\) menunjukkan sudut rotasi.
Jika kurva pembangkit berbentuk eksplisit seperti
\( y = f(x) \),
kemudian diputar mengelilingi sumbu x, maka persamaan parametris bidang putarnya adalah:
x = x,
\) \(
y = f(x)\cos\theta,
\) \(
z = f(x)\sin\theta.
\)
Bentuk parametris seperti ini sangat umum digunakan dalam kalkulus vektor dan grafik komputer.
Contoh Bidang Putar
1. Bidang putar dari garis y = kx mengelilingi sumbu x
Kurva pembangkit:
\( y = kx, \quad z = 0. \)Diputar mengelilingi sumbu x:
\(x = x,
\) \(
y = kx\cos\theta,
\) \(
z = kx\sin\theta.
\)
Permukaan yang terbentuk adalah cone surface.
2. Bidang putar dari kurva y = r mengelilingi sumbu z
Kurva pembangkit berupa garis sejajar sumbu z pada radius tetap r.
Rotasi menghasilkan permukaan silinder dengan persamaan:
\(x^{2} + y^{2} = r^{2}.
\)
3. Bidang putar dari kurva y = \sqrt{R^{2} – x^{2}} mengelilingi sumbu x
Kurva pembangkit merupakan setengah lingkaran.
Permukaan putarnya adalah bola dengan persamaan:
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}.
\)
Referensi
- Anton, H. (2013). Elementary Linear Algebra. Wiley.
- Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
- Thomas, G. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
- Lay, D. (2015). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.