Bidang Atur

Raymond Kelvin Nando — Bidang atur adalah permukaan dalam ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh titik-titik hasil pergerakan dua parameter bebas, sehingga setiap titik pada permukaan dapat dinyatakan secara jelas melalui fungsi parametris dua variabel. Konsep ini fundamental dalam geometri diferensial, kalkulus multivariabel, dan analisis permukaan di R³.

Pengertian Bidang Atur

Pengertian bidang atur adalah permukaan yang dapat direpresentasikan secara parametris oleh dua parameter independen, misalnya \(u\) dan \(v\), melalui fungsi vektor:

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v),, y(u,v),, z(u,v) \rangle.
\)

Suatu permukaan disebut atur (regular) apabila turunan parsialnya terhadap kedua parameter tidak saling sejajar, yaitu:

\(
\mathbf{r}{u}(u,v) \times \mathbf{r}{v}(u,v) \neq \mathbf{0}.
\)

Hal ini memastikan bahwa permukaan memiliki bidang singgung yang jelas pada setiap titik, sehingga dapat dianalisis secara diferensial.

Bidang atur mencakup banyak contoh permukaan penting seperti bidang datar, silinder, kerucut, bid. putar, torus, dan permukaan parametrik lainnya.

Rumus Umum Bidang Atur

Bentuk umum representasi parametris permukaan (bidang atur) adalah:

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v),, y(u,v),, z(u,v) \rangle.
\)

Turunan parsial yang membentuk vektor arah pada permukaan:

\(
\mathbf{r}_{u}(u,v) = \left\langle \frac{\partial x}{\partial u},, \frac{\partial y}{\partial u},, \frac{\partial z}{\partial u} \right\rangle,
\) \(
\mathbf{r}_{v}(u,v) = \left\langle \frac{\partial x}{\partial v},, \frac{\partial y}{\partial v},, \frac{\partial z}{\partial v} \right\rangle.
\)

Syarat regularity adalah:

\(
\mathbf{r}{u} \times \mathbf{r}{v} \neq \mathbf{0},
\)

yang berarti kedua vektor tidak kolinear dan permukaan memiliki normal yang terdefinisi.

Vektor normal permukaan:

\(
\mathbf{n}(u,v) = \mathbf{r}{u}(u,v) \times \mathbf{r}{v}(u,v).
\)

Normal ini digunakan dalam perhitungan luas permukaan, fluks, integral permukaan, dan geometri diferensial.

Contoh Bidang Atur

• Bidang datar (plane) parametrik
Misalkan bidang melalui titik \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) dengan dua vektor arah \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\). Maka persamaan parametriknya adalah:

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle x_{0},, y_{0},, z_{0} \rangle + u,\mathbf{a} + v,\mathbf{b}
\)

Selama \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\) tidak sejajar, maka bidang tersebut terdefinisi dengan baik.

• Bidang silinder
Contoh silinder berjari-jari \(r\):

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle r\cos u,, r\sin u,, v \rangle.
\)

Vektor normalnya:

\(
\mathbf{r}{u} \times \mathbf{r}{v} = \langle -r\cos u,,-r\sin u,,0 \rangle.
\)

• Bidang kerucut
Kerucut puncak di asal:

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle v\cos u,, v\sin u,, kv \rangle.
\)

• Bidang putar (surface of revolution)
Kurva \(y=f(x)\) diputar terhadap sumbu x:

\(
\mathbf{r}(x,\theta) = \langle x,, f(x)\cos\theta,, f(x)\sin\theta \rangle.
\)

Semua contoh di atas memenuhi syarat bidang atur selama turunan parsialnya tidak saling sejajar.

• Torus (donut)
Dengan jari-jari besar \(R\) dan jari-jari kecil \(r\):

\(
\mathbf{r}(u,v) = \langle (R+r\cos v)\cos u,,(R+r\cos v)\sin u,, r\sin v \rangle.
\)

Torus adalah salah satu permukaan atur yang paling umum dalam kalkulus multivariabel.

Referensi

• Anton, H. (2013). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Lay, D. (2015). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.