Raymond Kelvin Nando — Bentuk persamaan garis lurus dalam ruang tiga dimensi (R³) merupakan cara matematis untuk menyatakan himpunan semua titik yang berada pada satu garis tertentu. Dalam geometri analitik, persamaan garis dapat dituliskan dalam berbagai bentuk, masing-masing memberikan informasi berbeda mengenai arah, titik yang dilalui garis, dan struktur ruang. Pemahaman bentuk-bentuk ini penting dalam kalkulus vektor, fisika ruang, serta seluruh cabang matematika lanjut yang memerlukan deskripsi gerak linier.
Daftar Isi
Pengertian Persamaan Garis Lurus di R³
Persamaan garis lurus adalah representasi matematis dari semua titik yang berada pada arah tertentu dan melalui satu titik tertentu. Tidak seperti di bidang dua dimensi, garis di R³ tidak dapat dituliskan dalam bentuk tunggal y=mx+cy = mx + cy=mx+c, sehingga dibutuhkan bentuk parametrik, vektor, atau simetris untuk menggambarkannya secara tepat.
Garis lurus di R³ selalu dapat ditentukan oleh:
- satu titik yang dilaluinya, dan
- satu vektor arah yang searah garis tersebut.
Kedua dasar inilah yang menjadi fondasi bagi semua bentuk persamaan garis.
Bentuk Persamaan Parametrik Garis Lurus
Bentuk parametrik adalah bentuk paling umum dan mudah dipahami. Jika garis melalui titik P0(x0,y0,z0)P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})P0(x0,y0,z0) dan memiliki vektor arah v = (a, b, c), maka:
\(x = x_{0} + at,\quad
y = y_{0} + bt,\quad
z = z_{0} + ct
\)
dengan ttt adalah parameter real.
Bentuk ini langsung menunjukkan titik awal dan arah gerak garis.
Bentuk Vektor Garis Lurus
Dalam bentuk vektor, persamaan garis ditulis sebagai:
\(\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + t\mathbf{v}
\)
dengan:
- r0=(x0,y0,z0)\mathbf{r}_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})r0=(x0,y0,z0) adalah posisi titik awal,
- v=(a,b,c)\mathbf{v} = (a, b, c)v=(a,b,c) adalah vektor arah garis.
Bentuk ini banyak digunakan dalam fisika, mekanika, dan 3D modeling.
Bentuk Simetris Garis Lurus
Jika a,b,c≠0a, b, c \neq 0a,b,c=0, maka persamaan parametrik dapat dituliskan menjadi:
\(\frac{x – x_{0}}{a} =
\frac{y – y_{0}}{b} =
\frac{z – z_{0}}{c}
\)
Bentuk simetris adalah bentuk yang paling ringkas, namun hanya berlaku bila komponen vektor arah tidak ada yang bernilai nol.
Bentuk Kartesius (Gabungan Dua Persamaan Bidang)
Setiap garis dalam R³ dapat dianggap sebagai perpotongan dua bidang. Misalkan dua bidang diberikan:
\(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0
\)
dan
\(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0
\)
maka garis lurus yang merupakan perpotongan kedua bidang tersebut adalah garis yang memenuhi keduanya sekaligus.
Contoh Pembentukan Persamaan Garis
Misalkan garis melalui titik P(2,−1,3)P(2, -1, 3)P(2,−1,3) dan memiliki vektor arah v=(4,2,−5)\mathbf{v} = (4, 2, -5)v=(4,2,−5).
Bentuk parametrik:
\(x = 2 + 4t,\quad y = -1 + 2t,\quad z = 3 – 5t
\)
Bentuk vektor:
\(\mathbf{r} = (2, -1, 3) + t(4, 2, -5)
\)
Bentuk simetris:
\(\frac{x – 2}{4} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z – 3}{-5}
\)
Semua bentuk ini mewakili garis yang sama.
Interpretasi Geometris
- Titik awal menentukan posisi garis.
- Vektor arah menentukan orientasi garis.
- Bentuk parametrik menampilkan proses “gerak”.
- Bentuk vektor membantu analisis dalam ruang vektor.
- Bentuk simetris memperlihatkan proporsi perubahan koordinat garis.
Ketiga bentuk ini saling berkaitan dan dapat ditransformasikan satu sama lain.
Aplikasi Persamaan Garis
- Analisis lintasan gerak dalam fisika dan mekanika.
- Penentuan garis perpotongan bidang dalam geometri ruang.
- Penghitungan sudut antara garis menggunakan dot product.
- Penentuan garis tegak lurus atau sejajar terhadap objek ruang.
- Penerapan dalam computer graphics, animasi, dan ray tracing.
Referensi
- Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
- Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
- Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
- Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.