Fungsi Dari Beberapa Variabel

Raymond Kelvin Nando — Fungsi dari beberapa variabel adalah pemetaan matematis yang memasangkan setiap titik dalam domain berdimensi dua atau lebih kepada sebuah nilai real. Konsep ini menjadi dasar analisis multivariabel dalam kalkulus lanjutan, optimasi, geometri ruang, hingga pemodelan fenomena fisika. Dengan memahami fungsi multivariabel, kita dapat menggambarkan permukaan, gradien, perubahan arah, serta perilaku lokal suatu besaran yang berubah terhadap lebih dari satu input.

Pengertian Fungsi Dari Beberapa Variabel

Fungsi dari beberapa variabel adalah suatu aturan yang mengaitkan pasangan atau tripel bilangan real dengan satu nilai keluaran tunggal. Bentuk paling umum adalah fungsi dua variabel \(f(x,y)\) dan fungsi tiga variabel \(f(x,y,z)\).

Suatu fungsi dua variabel ditulis sebagai:

\(f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\)

Suatu fungsi tiga variabel ditulis sebagai:

\(f : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\)

Contoh sederhana:

\(f(x,y) = x^{2} + y^{2}\)

yang memetakan titik latex[/latex] menjadi sebuah nilai real yang menggambarkan jarak kuadrat dari titik tersebut ke titik asal.

Rumus Umum Fungsi Dari Beberapa Variabel

Bentuk umum fungsi dua variabel:

\(z = f(x,y)\)

Bentuk umum fungsi tiga variabel:

\(w = f(x,y,z)\)

Untuk fungsi dua variabel, grafiknya berupa permukaan dalam ruang tiga dimensi. Untuk fungsi tiga variabel, representasinya biasanya dilakukan melalui irisan level (level surfaces), seperti:

\(f(x,y,z) = k\)

dengan \(k\) konstanta.

Contoh Fungsi Dari Beberapa Variabel

Contoh 1. Fungsi dua variabel:

\(f(x,y) = 3x + 2y\)

Contoh 2. Fungsi dua variabel berbentuk non-linear:

\(f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

Contoh 3. Fungsi tiga variabel:

\(f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} – z\)

Contoh 4. Fungsi tiga variabel yang sering dipakai di fisika:

\(f(x,y,z) = e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})}\)

Interpretasi:

• fungsi dapat membentuk permukaan,
• dapat digunakan untuk mempelajari perubahan lokal,
• dapat dianalisis menggunakan konsep turunan parsial, gradien, divergensi, serta diferensial total.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.