Persamaan Standar

Raymond Kelvin Nando — Persamaan standar adalah bentuk persamaan baku yang digunakan untuk merepresentasikan objek geometri—seperti garis, bidang, atau kurva—agar lebih mudah dianalisis secara matematis. Dalam geometri analitik dan kalkulus, persamaan standar membantu menyederhanakan proses identifikasi bentuk, posisi, dan sifat suatu objek.

Pengertian Persamaan Standar

Pengertian persamaan standar merujuk pada bentuk umum atau bentuk baku dari suatu persamaan geometri sehingga karakteristik utama objek langsung terlihat. Fungsi utama bentuk standar adalah mempermudah perhitungan, visualisasi, dan transformasi.

Persamaan standar memastikan bahwa:

• struktur dan parameter utama objek terlihat jelas,
• perbandingan antar-objek lebih mudah dilakukan,
• proses substitusi dan perhitungan lebih sistematis.

Rumus Umum Persamaan Standar

Berikut beberapa bentuk persamaan standar yang umum digunakan dalam ruang tiga dimensi:

1. Persamaan standar garis dalam ruang R³

\(
\frac{x – x_{0}}{a} = \frac{y – y_{0}}{b} = \frac{z – z_{0}}{c}
\)

Dengan:

• \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) adalah titik pada garis,
• \((a, b, c)\) adalah bilangan arah garis.

2. Persamaan standar bidang

\(
Ax + By + Cz + D = 0
\)

Di mana:

• \(A, B, C\) adalah komponen vektor normal,
• \(D\) menentukan posisi bidang terhadap titik asal.

3. Persamaan standar bola

\(
(x – a)^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{2} = r^{2}
\)

Dengan:

• \((a, b, c)\) pusat bola,
• \(r\) jari-jari.

Contoh Persamaan Standar

1. Contoh garis

Misalkan garis melalui titik latex[/latex] dengan arah latex[/latex]:

\(
\frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{-1} = \frac{z – 0}{2}
\)

2. Contoh bidang

Jika bidang memiliki vektor normal latex[/latex] dan melalui titik latex[/latex], maka persamaannya:

\(
2(x-1) + 1(y-0) – 3(z-4) = 0
\)

Disederhanakan menjadi:

\(
2x + y – 3z + 10 = 0
\)

3. Contoh bola

Bola berpusat di latex[/latex] dengan jari-jari \(5\):

\(
(x – 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 3)^{2} = 25
\)

Referensi

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. Calculus. Cengage.
• Thomas, G. Thomas’ Calculus. Pearson.
• Lay, D. Linear Algebra and Its Applications. Pearson.