Bidang Kerucut

Raymond Kelvin Nando — Bidang kerucut adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak tetap dari sebuah garis tetap (sumbu) dalam arah radial tertentu sekaligus berada pada hubungan proporsional terhadap jarak titik tersebut dari sebuah titik puncak; konsep ini penting dalam analisis geometri ruang karena menjadi dasar bagi bentuk conic surfaces yang muncul dalam matematika, fisika, dan teknik.

Pengertian Bidang Kerucut

Pengertian bidang kerucut adalah tempat kedudukan semua titik yang membentuk sudut tetap terhadap sebuah garis tetap yang disebut sumbu kerucut. Titik tempat semua garis pembentuk bertemu disebut puncak kerucut.

Suatu titik
\( P(x, y, z) \)
berada pada permukaan bidang kerucut jika vektor dari puncak ke titik tersebut membentuk sudut tetap
\( \theta \)
dengan sumbu kerucut.

Rumus Umum Bidang Kerucut

Misalkan puncak kerucut berada di titik
\( V(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \)
dan sumbunya adalah garis dengan vektor arah

\( \vec{d} = \langle a, b, c \rangle. \)

Titik
\( P(x, y, z) \)
akan berada pada kerucut apabila sudut antara vektor
\( \vec{VP} = \langle x – x_{0},, y – y_{0},, z – z_{0} \rangle \)
dan
\( \vec{d} \)
adalah

\( \theta. \)

Rumus matematikanya:

\(
\cos\theta
= \frac{\vec{VP} \cdot \vec{d}}
{\left|\vec{VP}\right|\left|\vec{d}\right|}
\)

Dalam bentuk kuadrat, persamaan bidang kerucut adalah:

\(
(\vec{VP} \cdot \vec{d})^{2}
= \left|\vec{d}\right|^{2}\left|\vec{VP}\right|^{2}\cos^{2}\theta.
\)

Persamaan ini siap digunakan dalam Gutenberg WordPress dengan plugin MathJax-LaTeX.

Contoh Bidang Kerucut

Contoh 1: Kerucut dengan puncak di (0,0,0) dan sumbu z

Jika sudut kerucut adalah
\( \theta \),
maka persamaan umumnya:

\(
x^{2} + y^{2}
= z^{2}\tan^{2}\theta.
\)

Contoh 2: Kerucut dengan puncak di (1,2,0) dan sumbu arah ⟨1,1,1⟩\langle 1,1,1 \rangle⟨1,1,1⟩

Gunakan titik puncak
\( V(1,2,0) \),
vektor arah
\( \vec{d} = \langle 1,1,1 \rangle \),
dan sudut

\( \theta = 30^\circ. \)

Persamaan kerucutnya:

\(
(\vec{VP} \cdot \langle 1,1,1 \rangle)^{2}
= 3,\left|\vec{VP}\right|^{2}\cos^{2}30^\circ.
\)

Referensi

• Anton, H. (2013). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Lay, D. (2015). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.