Raymond Kelvin Nando — Bidang silinder adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak sama terhadap sebuah garis tetap yang disebut sumbu silinder; konsep ini penting dalam kajian geometri ruang karena menjadi dasar bagi analisis bentuk-bentuk rotasi dan translasi yang sering muncul dalam matematika, fisika, dan teknik.
Daftar Isi
Pengertian Bidang Silinder
Bidang silinder adalah tempat kedudukan semua titik yang berjarak tetap terhadap sebuah garis tertentu. Jika garis tetap tersebut disebut sumbu, dan jarak tetapnya adalah r, maka setiap titik pada bidang silinder memenuhi syarat geometris bahwa jaraknya dari sumbu selalu bernilai r.
Secara matematis, jika sumbu silinder adalah garis l, maka titik P(x,y,z)P(x, y, z)P(x,y,z) terletak pada bidang silinder apabila jarak titik tersebut dari garis l sama dengan jari-jari r.
Rumus Umum Bidang Silinder
Misalkan sumbu silinder adalah garis yang melalui titik
\(P0(x0,y0,z0)\)\( P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \)\(P0(x0,y0,z0)\)
dengan vektor arah
\(d⃗=⟨a,b,c⟩\)\( \vec{d} = \langle a, b, c \rangle \)\(d=⟨a,b,c⟩\).
Jarak sebuah titik
\(P(x,y,z)\)\( P(x, y, z) \)\(P(x,y,z)\)
ke garis tersebut diberikan oleh rumus umum:
\text{Jarak}(P, l)
= \frac{\left| (P – P_{0}) \times \vec{d} \right|}{\left| \vec{d} \right|}
\)
Bidang silinder dengan jari-jari r memiliki persamaan umum:
\(\frac{\left| (P – P_{0}) \times \vec{d} \right|}{\left| \vec{d} \right|}
= r
\)
atau bentuk kuadratnya:
\(\left| (P – P_{0}) \times \vec{d} \right|^{2}
= r^{2} \left| \vec{d} \right|^{2}.
\)
Contoh Bidang Silinder
Contoh 1: Silinder dengan sumbu sejajar sumbu z
Misalkan sumbu silinder adalah garis
\(x=0,y=0\)\( x = 0, \quad y = 0 \)\(x=0,y=0\)
yang merupakan sumbu z, dan jari-jarinya adalah
\(r=4\)\( r = 4 \)\(r=4\).
Persamaan bidang silindernya:
\(x^{2} + y^{2} = 16
\)
Contoh 2: Silinder dengan sumbu garis berarah ⟨1,1,0⟩\langle 1, 1, 0 \rangle⟨1,1,0⟩
Jika sumbu melalui titik
\((1,2,0)\)\( (1, 2, 0) \)\((1,2,0)\)
dan jari-jarinya
\(r=3\)\( r = 3 \)\(r=3\),
Maka bentuk persamaannya diperoleh dari:
\(\left| (P – P_{0}) \times \langle 1,1,0 \rangle \right|^{2}
= 9 \left| \langle 1,1,0 \rangle \right|^{2}
\)
yang dapat diperluas menjadi bentuk aljabar eksplisit (opsional disederhanakan dalam latihan).
Referensi
- Anton, H. (2013). Elementary Linear Algebra. Wiley.
- Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
- Thomas, G. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
- Lay, D. (2015). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.