Tempat Kedudukan

Raymond Kelvin Nando — Tempat kedudukan dalam geometri analitik merujuk pada himpunan semua titik yang memenuhi suatu syarat tertentu sehingga membentuk suatu bangun atau kurva spesifik dalam ruang dua atau tiga dimensi.

Pengertian Tempat Kedudukan

Tempat kedudukan adalah himpunan titik-titik yang memenuhi syarat tertentu, baik berupa jarak, hubungan aljabar, posisi terhadap objek lain, maupun kombinasi dari beberapa syarat tersebut. Dalam konteks geometri analitik, setiap tempat kedudukan dapat diterjemahkan ke dalam persamaan matematis yang mewakili bentuk kurva atau permukaan.

Beberapa contoh umum tempat kedudukan:

• Titik-titik yang berjarak sama dari satu titik membentuk lingkaran atau bola.
• Titik-titik yang berjarak sama dari satu garis membentuk dua garis sejajar.
• Titik-titik yang memenuhi hubungan linier tertentu membentuk garis.

Rumus Umum Tempat Kedudukan

Rumus umum berbeda bergantung pada jenis syaratnya. Berikut bentuk-bentuk representatif yang paling sering muncul.

• Tempat kedudukan titik yang berjarak r dari titik pusat (a,b)(a, b)(a,b):

\(\ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\ \)

Tempat kedudukan titik yang berjarak sama dari dua titik A(x1,y1)A(x_1, y_1)A(x1​,y1​) dan B(x2,y2)B(x_2, y_2)B(x2​,y2​):
\(\ \sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2} = \sqrt{(x – x_2)^2 + (y – y_2)^2}\ \)
Hasilnya adalah garis sumbu.

Tempat kedudukan titik yang memenuhi hubungan linier:

\(\ ax + by + c = 0\ \)

Tempat kedudukan titik dengan jumlah jarak ke dua titik tetap (fokus) konstan — membentuk elips:

\(\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ \)

Tempat kedudukan titik dengan selisih jarak ke dua fokus konstan — membentuk hiperbola:

\(\ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\ \)

Contoh Tempat Kedudukan

Berikut beberapa contoh konkret agar konsepnya lebih jelas.

• Contoh 1: Lingkaran sebagai tempat kedudukan
  Tentukan tempat kedudukan titik yang berjarak 5 dari titik (2,−1)(2, -1)(2,−1).
  Rumusnya:

\(\ (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\ \)

Contoh 2: Sumbu dua titik
Titik-titik yang berjarak sama dari A(0,4)A(0, 4)A(0,4) dan B(6,0)B(6, 0)B(6,0) membentuk garis sumbu.
Persamaan diperoleh dari:

\(\ \sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}\ \)

Contoh 3: Tempat kedudukan membentuk garis
Titik-titik yang memenuhi syarat “jumlah koordinat x+y=10x + y = 10x+y=10” membentuk garis lurus:

\(\ x + y = 10\ \)

FAQ

Referensi

• Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. Calculus. Pearson.
• Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. Calculus. Wiley.
• Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.