Jarak Suatu Titik ke Bidang Rata

Raymond Kelvin Nando — Jarak suatu titik ke bidang rata adalah panjang garis tegak lurus dari titik tersebut menuju bidang yang dimaksud dalam ruang tiga dimensi. Konsep ini sangat penting dalam geometri analitik, kalkulus vektor, serta berbagai aplikasi teknik yang membutuhkan perhitungan jarak minimal.

Pengertian Jarak Suatu Titik ke Bidang Rata

Jarak titik ke bidang rata didefinisikan sebagai panjang terpendek dari titik tersebut menuju bidang. Karena jalur terpendek antara titik dan bidang selalu tegak lurus, maka pengukuran jarak dilakukan menggunakan proyeksi tegak lurus. Konsep ini menjadi dasar dalam analisis jarak, optimasi, pemodelan ruang, dan penerapan komputasi geometris.

Misalkan bidang memiliki persamaan:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

dan titiknya adalah Q(x₁, y₁, z₁). Maka jarak titik ke bidang diperoleh dari substitusi koordinat titik ke dalam persamaan bidang dan dinormalisasi oleh panjang vektor normal.

Rumus Umum Jarak Titik ke Bidang Rata

Rumus jarak titik Q(x₁, y₁, z₁) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:

\(
d = \frac{|A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}
\)

Dengan:

• A, B, C adalah komponen vektor normal bidang,
• D menentukan posisi bidang terhadap titik asal,
• nilai mutlak memastikan jarak selalu positif.

Rumus ini merupakan bentuk standar dalam geometri ruang R³.

Penurunan Rumus

Rumus berasal dari jarak titik ke bidang berdasarkan proyeksi tegak lurus. Misalkan n = (A, B, C) adalah vektor normal bidang.

Untuk titik Q(x₁, y₁, z₁), nilai:

\(
A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D
\)

adalah hasil substitusi koordinat titik ke dalam persamaan bidang—yang secara geometris merupakan jarak terarah terhadap bidang.

Karena vektor normal memiliki panjang:

\(
\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}
\)

maka pembagian tersebut menormalkan jarak agar sesuai dengan panjang sebenarnya dalam ruang.

Contoh Perhitungan

Misalkan titik Q(2, −1, 3) dan bidang:

\(
3x – 2y + 6z – 12 = 0
\)

Hitung jaraknya:

Langkah 1. Substitusi ke dalam persamaan:

\(
3(2) – 2(-1) + 6(3) – 12 = 6 + 2 + 18 – 12 = 14
\)

Langkah 2. Hitung panjang vektor normal:

\(
\sqrt{3^{2} + (-2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7
\)

Langkah 3. Masukkan ke rumus:

\(
d = \frac{|14|}{7} = 2
\)

Jadi jarak titik Q ke bidang tersebut adalah 2 satuan.

Interpretasi Geometris

• Garis terpendek dari titik ke bidang selalu merupakan garis tegak lurus bidang.
• Nilai Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D menunjukkan seberapa jauh titik “bergeser” dari bidang.
• Rumus ini stabil dan konsisten dalam seluruh transformasi linear kecuali jika vektor normal berubah arah secara tidak proporsional.

Aplikasi dalam Berbagai Bidang

• Analisis jarak minimal dalam computer graphics dan collision detection,
• Optimasi ruang pada machine learning dan pemodelan data,
• Hitungan ketebalan atau tinggi bangunan dalam teknik sipil,
• Perhitungan gaya dan proyeksi dalam mekanika klasik,
• Penentuan titik terdekat dalam pemetaan geospasial,

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.