Koordinat Titik yang Membagi Segmen atas Perbandingan Tertentu

Raymond Kelvin Nando —Koordinat titik yang membagi segmen atas perbandingan tertentu adalah konsep dalam geometri analitik yang digunakan untuk menentukan posisi titik yang terletak di antara dua titik berdasarkan rasio pembagian tertentu, baik pembagian internal maupun eksternal. Konsep ini penting dalam matematika lanjut karena menjadi dasar berbagai analisis geometri dan vektor.

Pengertian Koordinat Titik yang Membagi Segmen atas Perbandingan Tertentu

Koordinat titik pembagi segmen adalah koordinat titik yang memotong garis yang menghubungkan dua titik dalam perbandingan tertentu. Jika titik P membagi segmen AB dalam perbandingan m:n, maka P dapat ditemukan menggunakan rumus koordinat pembagi.

Rasio m:n berarti:

• m → “bagian” menuju titik B
• n → “bagian” menuju titik A

Titik P dapat berada di antara A dan B (pembagian internal) atau di luar segmen AB (pembagian eksternal).

Rumus Pembagian Internal

Misalkan titik A(x₁, y₁, z₁) dan titik B(x₂, y₂, z₂), dan titik P membagi AB secara internal dengan rasio m:n, maka koordinat P adalah:

\(P\left( \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n},\ \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n},\ \frac{mz_{2} + nz_{1}}{m + n} \right)\)

Makna rumus:

• Koordinat P merupakan rata-rata tertimbang antara titik A dan B.
• Semakin besar m → semakin dekat ke B.
• Semakin besar n → semakin dekat ke A.

Rumus Pembagian Eksternal

Untuk pembagian eksternal (titik P berada di luar segmen AB), rumusnya menjadi:

\(P\left( \frac{mx_{2} – nx_{1}}{m – n},\ \frac{my_{2} – ny_{1}}{m – n},\ \frac{mz_{2} – nz_{1}}{m – n} \right)\)

Pembagian eksternal sering digunakan untuk konsep perpanjangan garis dan analisis geometri lanjutan.

Contoh Perhitungan Pembagian Internal

Diberikan:

• A(2, 1, −3)
• B(8, 7, 5)
• P membagi AB dengan rasio 2:3

Hitung koordinat P:

\(P = \left( \frac{2(8) + 3(2)}{2 + 3},\ \frac{2(7) + 3(1)}{2 + 3},\ \frac{2(5) + 3(-3)}{2 + 3} \right)\) \(P = \left( \frac{16 + 6}{5},\ \frac{14 + 3}{5},\ \frac{10 – 9}{5} \right)\) \(P = (22/5,\ 17/5,\ 1/5)\)

Jadi titik P = (4.4, 3.4, 0.2).

Contoh Perhitungan Pembagian Eksternal

Diberikan:

• A(1, 4, 0)
• B(7, 1, 6)
• P membagi AB secara eksternal dengan rasio 3:1

\(P = \left( \frac{3(7) – 1(1)}{3 – 1},\ \frac{3(1) – 1(4)}{3 – 1},\ \frac{3(6) – 1(0)}{3 – 1} \right)\) \(P = \left( \frac{21 – 1}{2},\ \frac{3 – 4}{2},\ \frac{18 – 0}{2} \right)\) \(P = (10,\ -0.5,\ 9)\)

Titik ini terletak di luar segmen AB.

Kegunaan dalam Matematika dan Aplikasi

• Menentukan titik pembagi pada garis dalam ruang tiga dimensi.
• Menentukan pusat massa (center of mass) untuk benda titik.
• Digunakan dalam persamaan parametris garis.
• Digunakan dalam interpolasi linear pada grafika komputer.
• Memudahkan analisis geometri ruang pada bidang teknik dan fisika.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.