Bilangan Arah

Raymond Kelvin Nando —Bilangan arah adalah pasangan atau tripel bilangan yang menunjukkan proporsi komponen suatu vektor terhadap masing-masing sumbu koordinat. Dalam konteks ruang tiga dimensi (R³), bilangan arah digunakan untuk menggambarkan kecenderungan arah vektor tanpa memperhatikan panjangnya. Materi ini sangat penting dalam analisis geometri ruang, persamaan garis, bidang, serta berbagai penerapan dalam fisika dan teknik.

Pengertian Bilangan Arah

Bilangan arah (direction numbers) adalah tiga bilangan yang berbanding lurus dengan komponen suatu vektor dalam ruang R³. Jika sebuah vektor diarahkan sepanjang garis tertentu, maka bilangan arah menunjukkan “kemiringan relatif” vektor tersebut terhadap sumbu x, y, dan z.

Misalkan garis memiliki bilangan arah (a, b, c). Artinya, untuk setiap kenaikan “unit arah” sepanjang garis:

• perubahan terhadap sumbu x sebanding dengan a,
• perubahan terhadap sumbu y sebanding dengan b,
• perubahan terhadap sumbu z sebanding dengan c.

Bilangan arah tidak harus bernilai satuan dan tidak harus membentuk vektor satuan; bilangan arah hanya menggambarkan proporsi arah.

Hubungan Bilangan Arah dan Vektor

Jika bilangan arah suatu garis diberikan sebagai (a, b, c), maka vektor arah garis tersebut dapat dituliskan sebagai:

\(\vec{v} = (a, b, c)\)

Panjang vektor arah:

\(|\vec{v}| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\)

Bilangan arah dapat dijadikan dasar untuk menentukan cosinus arah menggunakan:

\(\cos\alpha = \frac{a}{|\vec{v}|}, \quad \cos\beta = \frac{b}{|\vec{v}|}, \quad \cos\gamma = \frac{c}{|\vec{v}|}\)

Dengan demikian, bilangan arah selalu berkaitan langsung dengan orientasi geometris vektor dalam ruang.

Perbedaan Bilangan Arah dan Cosinus Arah

• Bilangan arah → tidak dinormalisasi, menunjukkan proporsi perubahan.
• Cosinus arah → dinormalisasi terhadap panjang vektor, menunjukkan sudut terhadap sumbu.

Contoh: bilangan arah (2, 4, 4) dan (1, 2, 2) sebenarnya menggambarkan arah yang sama, karena keduanya saling berbanding lurus.

Menentukan Bilangan Arah dari Dua Titik

Jika sebuah garis melalui titik P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂), maka bilangan arahnya adalah selisih koordinat:

\((a, b, c) = (x_{2} – x_{1},\ y_{2} – y_{1},\ z_{2} – z_{1})\)

Contoh:
P(1, 3, −2) dan Q(5, 6, 4)

\((a, b, c) = (5 – 1,\ 6 – 3,\ 4 – (-2)) = (4, 3, 6)\)

Bilangan arah garis PQ adalah (4, 3, 6).

Contoh Penggunaan dalam Persamaan Garis

Dengan bilangan arah (a, b, c), persamaan garis parametrik dapat ditulis:

\(x = x_{0} + at\)
\(y = y_{0} + bt\)

\(z = z_{0} + ct\)

atau dalam bentuk vektor:

\(\vec{r} = \vec{r_{0}} + t(a, b, c)\)

Artinya, bilangan arah berfungsi sebagai inti dari representasi garis dalam ruang.

Kegunaan Bilangan Arah

• Membangun persamaan garis pada R³.
• Mengidentifikasi orientasi garis tanpa melihat panjang vektor.
• Menghubungkan garis dengan cosinus arah dan vektor satuan arah.
• Dipakai dalam analisis bidang, terutama untuk menentukan normal bidang.
• Penting dalam mekanika, optika, dan pemodelan gerak partikel.

Referensi

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
• Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
• Thomas, G. B., Weir, M., & Hass, J. (2018). Thomas’ Calculus. Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.